Área de un cono

Cantidad de área total ocupada por su superficie por un cono.

¿Qué es el área de un cono?

El área de un cono hace referencia a la cantidad de área total ocupada por su superficie.

Esta superficie cónica incluye dos partes: la superficie curva o área lateral y el área de la superficie de la base circular.

Cálculo del área de un cono

El área total de un cono (At) resulta de la suma del área de la base (Ab) más el área del cuerpo de la figura o área lateral (Al).

A_t=\ A_b+A_l

La manera más fácil aprender a calcular el área total del cono es conociendo cómo se halla el área de cada sección (base circular y parte lateral).

Para hallar el área de la base se emplea la fórmula conocida del área de un círculo:

A_b=\pi r^2

donde π (Pi) es una constante igual a 3,1416 aproximadamente y r es el radio de la circunferencia.

En cuanto, al área de la superficie lateral, se calcula multiplicando (π) por el radio de la base (r) y por la longitud de la generatriz (g) o altura inclinada (l), siendo la fórmula:

A_l=\ \pi\ast r\ast l

La fórmula de la altura inclinada (Al) se deriva de lo siguiente:

Al desplegar la sección lateral se observa que se encuentra dentro de un sector circular de mayor tamaño cuyo radio sería la altura inclinada (l) o la generatriz (g).

Siendo la circunferencia del círculo más grande 2πl y su área es πl2. La longitud del arco del sector es la misma longitud de la circunferencia de la sección del círculo original, que es 2πr.

Por lo tanto, el área del círculo grande y el área del sector lateral se pueden relacionar de la siguiente forma:

\frac{A_l}{\pi l^2}=\frac{2\pi r}{2\pi l}\ \left(2\pi\ del\ lado\ derecho\ ambos\ se\ cancelan\right)

A_l=\frac{r}{l}\pi l^2\ Se\ despeja\ el\ area\ del\ sector\ lateral

A_l=\pi rl\ (se\ obtiene\ al\ cancelar\ l\ y\ l^{2)}

A_l=\pi rl

Entonces, el área total del cono es:

A_t=\ A_b+A_l

A_t=\left(\pi r^2\right)+\left(\pi\ast r\ast l\right)

Se debe considerar que la generatriz es la hipotenusa del triángulo rectángulo que forma junto con el radio de la base y la altura del cono, siendo estos dos últimos los catetos.

De esta manera, Si se conoce la altura interna (h) del cono, entonces se puede usar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud inclinada.

l=\sqrt{(r^2\ +h^2\ )}

La gráfica anterior muestra cómo la altura inclinada se deriva del radio y la altura.

Ejemplos de área de un cono

Ejemplo 1

Hallar el área de la superficie total de un cono conocida su generatriz y el radio de la base circular según muestra la figura.

Ver solución

Según la figura la altura inclinada o generatriz es de 25 cm y el radio de la base es de 12 cm, esta información es suficiente para calcular el área total de la superficie del cono.

A_t=\left(\pi r^2\right)+\left(\pi\ast r\ast l\right)

A_t=\left(3,1416\ast\left(12\right)^2\right)+\left(3,1416\ast12\ast25\right)

A_t=452,4+942,5

A_t=1.394,9\ {cm}^2

El área total de la superficie del cono es de 1.394,9 cm2

Ejemplo 2

Calcular el área total de la superficie de un cono cuyo radio es de 16 cm y la altura es de 28 cm.

Ver solución

Para este caso se conoce se conoce la altura interna del cono y el radio (r) de la base, es necesario hallar la generatriz, para poder aplicar la fórmula del área total de la superficie del cono.

Hallando la altura inclinada o generatriz:

l=\sqrt{\left(r^2\ +h^2\ \right)}=\sqrt{{16}^2\ +{28}^2}=\sqrt{256+784}

l=32,25\ cm

Ahora se calcula el área total del cono:

A_t=\left(\pi r^2\right)+\left(\pi\ast r\ast l\right)

A_t=\left(3,1416\ast\left(16\right)^2\right)+\left(3,1416\ast16\ast32,25\right)

A_t=804,2+1.621,1

A_t=2.425,2\ {cm}^2

El área total de la superficie del cono es de 2.425,2 cm2

Bibliografía:
  • Ministerio de Educación del Ecuador. (2016b). Matemática 10° grado. Libro del estudiante. SMEcuaediciones.
  • Siu Kochoy, R., & Andaluz, C. (2019). Geometría del espacio: ejercicios y problemas. Fondo Editorial Universidad del Pacífico.

Autor:

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

Citar artículo:
Haude Medina (2023). Área de un cono. Recuperado de Enciclopedia de Matemática (https://enciclopediadematematica.com/area-de-un-cono/). Última actualización: febrero 2023.
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