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Ecuaciones de segundo grado

Ecuación que una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita o variable es 2.

¿Qué son las ecuaciones de segundo grado?

Una ecuación de segundo grado, también conocida como ecuación cuadrática, es aquella ecuación que una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita o variable es 2. Expresado de otra manera, es una ecuación polinomial de segundo orden con una sola variable.

Una ecuación de segundo grado tiene la forma siguiente:

$ax^2+\ bx+c$

donde "x" es la incógnita o variable, a, b, c son los coeficientes.

Estos términos también son denominados de la siguiente manera:

a se le denomina término cuadrático.
b se le denomina término lineal.
c se le denomina término independiente.

La ecuación de segundo grado debe cumplir con algunas condiciones que se listan a continuación:

El mayor exponente de la incógnita es 2.
a, b y c Î R (pertenecen a los números reales)
El valor de “a” debe ser diferente de 0 (a≠0)

Debido a que es una ecuación polinomial de segundo orden, el teorema fundamental del álgebra garantiza que tiene al menos una solución. Estas soluciones pueden ser tanto reales como complejas.

Las ecuaciones de segundo grado se pueden clasificar de dos maneras, dependiendo de los coeficientes a, b y c.

Si a, b, c ≠ 0, se denomina ecuación completa. Siendo la forma ya conocida $ax^2+\ bx+c=0$
Si b ó c = 0, se denomina ecuación incompleta. Pueden darse alguna de estas formas: $ax^2\pm\ bx=0$ o $ax^2\pm c=0\$

Algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas son:

Ejemplo	Valores de a, b, c	Tipo de ecuación cuadrática
$2x^2+5x+1=0$	a = 2, b = 5, c = 1	Ecuación completa
${3x}^2-2x+4=0$	a = 3, b = - 2, c = 4	Ecuación completa
${2x}^2+6x=0$	a = 2, b = 6, c = 0	Ecuación incompleta
${2x}^2-3=0$	a = 2, b = 0, c = - 3	Ecuación incompleta

¿Cómo resolver las ecuaciones de segundo grado?

Resolver una ecuación de segundo grado igualada a cero (0), quiere decir que se debe encontrar el valor de la incógnita o variable denominada con la letra “x”.

Una ecuación de segundo grado se puede resolver a partir de la aplicación de la siguiente fórmula:

$x=\ \frac{-b\ \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Esta fórmula tiene algunas consideraciones:

El signo ± significa que se obtendrá dos (2) resultados. Uno cuando se utilice el signo de (+) y otro resultado cuando se utiliza el signo (-). Se obtendrán entonces los valores para x₁y el valor de x_2.
La parte $b^2-4ac$ se le denomina Discriminante (D). El discriminante de una ecuación de segundo grado revela la naturaleza de las raíces, es decir; indica si hay dos soluciones, una solución, si los valores estarán dentro del conjunto de los números reales o complejos.

Al analizar el Discriminante se puede determinar que:

Para D > 0 las raíces son reales y distintas.
Para D < 0 las raíces no existen, o las raíces son imaginarias.
Para D = 0 las raíces son reales e iguales.

Ejemplos de ecuaciones de segundo grado

Algunos ejemplos de ecuaciones de segundo grado son:

$4x^2+3x+2=0$	$3x^2+2x+5=0$	$-8x^2-6x=0$
$2x^2-7=0$	$4x^2+3=0$	$3+8x^2-2=0$
$8x^2+9x+1=0$	$2x^2+8x+8=0$

Ejercicios de ecuaciones de segundo grado

Ejercicio #1

Ecuación a resolver: $2x^2+5x+1=0$

Ver solución

Paso 1: determinamos los valores de los coeficientes a, b, c: $a = 2$ $b = 5$ $c = 1$

Paso 2: sustituir los valores de los coeficientes en la fórmula:

$x=\ \frac{-b\ \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=\ \frac{-(5)\ \pm\sqrt{{(5)}^2-(4\ast2\ast1)}}{2\ast2}$

Paso 3: resolver las operaciones que están entre los paréntesis.

-(5) = -5 (según la regla delos signos - * + = -)
(5)² = 5 x 5 = 25
(4 * 2 * 1) = 8
(2 * 2) = 4

La fórmula queda de la siguiente manera:

$x=\ \frac{-5\ \pm\sqrt{25-8}}{4}$

Al resolver los valores que están dentro de la raíz se obtiene

$x=\ \frac{-5\ \pm\sqrt{17}}{4}$

$\sqrt{17}=\ 4,123$ por tanto $x=\ \frac{-5\ \pm\ 4,123}{4}$ . Ya que el discriminante es mayor que cero entonces la ecuación de segundo grado tiene dos raíces reales. Se hallan los valores de x₁ y el valor de x₂

$x_1=\ \frac{-5+4,123}{4}=\ -0,219$

$x_2=\ \frac{-5-4,123}{4}=\ -2,280$

La solución de la ecuación de segundo grado es $x_1=\ -0,219$ y $x_2=\ -2,280$ .

Ejercicio #2

Ecuación a resolver: $3x^2+6x+3=0$

Ver solución

Paso 1: determinamos los valores de los coeficientes a, b, c: $a = 3$ $b = 6$ $c = 3$

Paso 2: al sustituir los valores de la fórmula de resolución se obtiene:

$x=\ \frac{-(6)\ \pm\sqrt{{(6)}^2-(4\ast3\ast3)}}{(2\ast3)}$

Paso 3: resolver las operaciones dentro de los paréntesis

$x=\ \frac{-6\ \pm\sqrt{36-36}}{6}x=\ \frac{-6\ \pm\sqrt{36-36}}{6}$

Resolviendo la raíz:

$x=\ \frac{-6\ \pm\sqrt0}{6}$

La raíz cuadrada de cero (0) es igual a cero (0). Ya que el discriminante es cero entonces la ecuación de segundo grado tiene sólo una raíz real.

$x=\ \frac{-6\ }{6}$

La solución de la ecuación de segundo grado es $x = -1$

Ejercicio #3

Ecuación a resolver: $-5x^2-2x=0$

Ver solución

Paso 1: determinamos los valores de los coeficientes a, b, c: $a = -5$ $b = -2$ $c = 0$

Paso 2: sustituir los valores

$x=\ \frac{-(-2)\ \pm\sqrt{{(-2)}^2-(4\ast\left(-5\right)\ast0)}}{(2\ast\left(-5\right))}$

Paso 3: resolver las operaciones dentro de los paréntesis

$x=\ \frac{+2\ \pm\sqrt{4+0}}{-10}$

Resolviendo la raíz

$x=\ \frac{+2\ \pm\sqrt4}{-10}$

Ya que el discriminante es mayor que cero entonces la ecuación de segundo grado tiene dos raíces reales:

$x_1=\ \frac{+2+2\ \ }{-10}=\ -0,4\$

$x_2=\ \frac{+2-2\ \ }{-10}=\ \frac{0}{-10}=0$

La solución de la ecuación de segundo grado es $x_1 = -0,4$ y $x_2 = 0$ .

Ejercicio #4

Ecuación a resolver: $7x^2-3=0$

Ver solución

Paso 1: determinamos los valores de los coeficientes a, b, c: $a = 7$ $b = 0$ $c = -3$

Paso 2: sustituir los valores

$x=\ \frac{-(0)\ \pm\sqrt{{(0)}^2-(4\ast7\ast(-3))}}{(2\ast7)}$

Paso 3: resolver las operaciones dentro de los paréntesis

$x=\ \frac{0\ \pm\sqrt{-(-84)}}{14}\ =\ \frac{0\ \pm\sqrt{+84}}{14}$

Ya que el discriminante es mayor que cero entonces la ecuación de segundo grado tiene dos raíces reales:

$x_1=\ \frac{+9,17\ \ }{14}=\ 0,65$

$x_2=\ \frac{-9,17\ \ }{14}=\ -0,65\$

La solución de la ecuación de segundo grado es $x_1 = 0,65$ y $x_2 = -0,65$ .

Bibliografía:
Lancioni, J. D. N. (2012). Introducción a la Matemática. Universidad Católica de Cordoba. Universidad Jesuita. Carena, M. (2022, enero 27). Manual de matemática preuniversitaria. https://infolibros.org/pdfview/434-manual-de-matematica-preuniversitaria-marilina-carena/ Ministerio de Educación del Ecuador. (2016b). Matemática 10° grado. Libro del estudiante. SMEcuaediciones.

Autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Citar artículo:

Haude Medina (2022). Ecuaciones de segundo grado. Recuperado de Enciclopedia de Matemática (https://enciclopediadematematica.com/ecuaciones-de-segundo-grado/). Última actualización: febrero 2023.