Factor común

Cantidad o expresión (factor) que se encuentra presente (común) en ambos valores.

¿Qué es el factor común?

El factor común de dos o más números o expresiones algebraicas, es una cantidad o expresión (factor) que se encuentra presente (común) en ambos valores.

Los factores son números enteros que se multiplican entre sí para producir otro número.

También se puede pensar en los factores como términos de división, que serían todos los números que dividen una cantidad sin dejar resto.

Por esta razón, matemáticamente se puede definir el factor común de la siguiente manera:

«Cuando dos o más números se dividen exactamente por el mismo(s) número(s), esos divisores comunes se conocen como factores comunes de los números dados»

Por ejemplo, si se tienen los números 8 y 14, se pueden hallar los factores de cada uno de ellos, para identificar los valores comunes.

  • 8 = {1, 2, 4, 8}
  • 14 = {1, 2, 7, 14}

Se puede notar que el 1 y 2 son factores comunes tanto del número 8 como del 14, ambos los dividen exactamente.

Característica del factor común

Como características del factor común es preciso mencionar:

  • Los factores de un número no pueden ser mayores que el número dado, son menores o iguales al número dado.
  • El número 1 es un factor común de todos los números.
  • Todo número es factor de sí mismo.
  • Cada número entero tiene al menos dos factores, el 1 y el mismo número.
  • Si una cantidad tiene solo dos factores, se dice que es un número primo.

¿Cómo se calcula el factor común?

Método de múltiplos para números enteros

En el método de múltiplos consiste en buscar los factores que multiplicados entre sí den como resultado el número dado.

A continuación, se explican los pasos para encontrar los factores comunes de los números 20 y 16, como ejemplo.

Paso 1: hacer una lista de los factores de cada uno de los números dados.

Cantidad Pares de factores Factores
20 (1 * 20), (2 * 10), (4 * 5) 1, 2, 4, 5, 10, 20
16 (1 * 16), (2 * 8), (4 * 4) 1, 2, 4, 8, 16

Paso 2: Seleccionar los factores comunes para los números dados.

Como se mencionó en la definición, el factor común incluye todos los divisores de los números dados.

Por consiguiente, del cuadro del paso 1, se puede decir que los factores 1, 2 y 4 son factores comunes del conjunto de los números 20 y 16, ya que los dividen exactamente a ambos.

Los números negativos también se les puede sacar factor común. Aunque, es necesario seguir la regla de los signos de multiplicación y división para encontrar todos los factores de números negativos.

Por ejemplo, los factores de -8 son (1, -8), (-1, 8), (2, -4), (-2, 4)

Sacar factor común de una expresión aritmética

Sacar o extraer el factor común de una operación aritmética consiste en hallar el número común y reescribir la operación aritmética en forma de producto.

Para extraer el factor común de una expresión aritmética es necesario conocer la propiedad distributiva, que resulta la operación inversa.

a\ast b+a\ast c=a(b+c)

En la suma el factor común es «a»

Entonces, sacar factor común no es más que deshacer la propiedad distributiva con respecto a la suma o la resta.

Este procedimiento es más sencillo analizarlo a través del ejemplo siguiente:

3*4 + 3*11 + 5*3

En la operación aritmética el (3) es un factor común en cada grupo de sumas

3*(4 + 11 + 5)

Se reescribe la operación en forma de producto y se resuelve

3*(20) = 60

Sacar factor común de una expresión algebraica

En las expresiones algebraicas también se pueden hallar factor común, este proceso se conoce como factorización por factor común.

El método consiste en hallar el factor común de cada uno de los términos de la expresión algebraica, tanto para los coeficientes como para las variables, que se toma la de menor exponente.

  • Paso 1: identificar el factor común para cada término
  • Paso 2: extraer y escribir el factor común delante del paréntesis
  • Paso 3: dividir cada término del polinomio entre el factor común. Cada monomio resultante se escribe dentro del paréntesis con su signo correspondiente.

A manera de ejemplo, se tiene el polinomio 3a^3+12a^2b-6a^4

  • Factores: 3 = {1, 3,}, 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, 6 = {1, 2, 3, 6}.
  • Como no se pueden tomar todos los factores comunes, se toma el mayor de ellos, el número 3.
  • Para el caso de las variables se selecciona la común con el menor exponente (a2).
  • Se divide cada término entre el factor común: \frac{3a^3}{3a^2}+\frac{12a^2b}{3a^2}-\frac{6a^4}{3a^2}
  • Simplificando la división de monomios: a^2+4b-2a^2.
  • Reescribiendo el polinomio resultante: 3a^2(a^2+4b-2a^2).

De esta manera se puede extraer el factor común de un polinomio.

Para verificar que el procedimiento y resultado sean correctos, sólo se tiene que volver a multiplicar el factor común por cada término dentro del paréntesis y ver si el resultado es igual al polinomio inicial.

Ejemplos de factor común

Ejemplo #1

Sacar el factor común de las cantidades: 15, 50, 75.

Ver solución

Primeramente, se debe realizar la descomposición en factores de cada número, para luego identificar los factores comunes.

  • Factores de 15: (1 * 15), (3 * 5) = {1, 3, 5, 15}
  • Factores de 50: (1 * 50), (2 * 25), (5 * 10) = {1, ,2, 5, 10, 25, 50}
  • Factores de 75: (1 * 75), (3 * 25), (5 * 15) = {1, 3, 5, 15, 25, 75}
  • Factores comunes: {1, 5)

Ejemplo #2

Extraer el factor común del polinomio: 8q^4t-2q^3t^2+6q^2t^4

Ver solución

  • Se saca factor común del coeficiente y las variables: 2q^2t
  • Dividir cada monomio entre el factor común: \frac{8q^4t}{2q^2t}-\frac{2q^3t^2}{2q^2t}+\frac{6q^2t^4}{2q^2t}=4q^2-qt+3t^2
  • Reescribir el resultado: 2q^2t(4q^2-qt+3t^3)
Bibliografía:
  • Álvarez. R. (2006). Factorización. Universidad de Medellín. Primera edición.
  • Lancioni, J. D. N. (2012). Introducción a la Matemática. Universidad Católica de Córdoba. Universidad Jesuita.

Autor:

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

Citar artículo:
Haude Medina (2022). Factor común. Recuperado de Enciclopedia de Matemática (https://enciclopediadematematica.com/factor-comun/). Última actualización: enero 2023.
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