Radicación

Operación matemática que permite encontrar la raíz de un número.

¿Qué es la radicación?

La radicación es una operación matemática que permite encontrar la raíz cuadrada \left(\sqrt[2]{a}\right), cúbica \left(\sqrt[3]{a}\right), cuarta \left(\sqrt[4]{a}\right), quinta \left(\sqrt[5]{a}\right), entre otras; de un número (a).

La radicación es un método sencillo y conciso que representa la idea de que un número, denominado raíz, debe ser multiplicado por sí mismo la cantidad de veces que indica el índice.

El resultado de esta multiplicación debe ser exactamente el radicando, que es el número que se encuentra dentro del símbolo de la raíz (radical).

Es evidente que la relación entre la raíz, el índice y el radicando es estrecha e interdependiente.

Radicación

Los radicales se representan mediante el símbolo (√), seguido del número al que se le está calculando la raíz.

Elementos de la radicación

De la definición de radicación antes expuesta se pueden mencionar sus elementos principales, los cuales se representan en la imagen anterior.

  • Radical: el símbolo que indica la operación de radicación.
  • Índice: es el número al que se eleva la raíz e indica el tipo de raíz que se busca. Señala el número que debe multiplicarse un número por sí mismo para obtener al radicando.
  • Radicando: también llamado cantidad subradical. Es el número que está dentro del radical, al cual se le va a calcular la raíz.
  • Raíz: es la solución de la raíz cuadrada.

Por ejemplo, \sqrt9=3 representa la raíz cuadrada de 9, que es 3, ya que 3 x 3 = 9. De manera similar, \sqrt[3]{27}=3, significa la raíz cúbica de 27 = 3 (3 x 3 x 3).

El número que se encuentra dentro del símbolo de la raíz se conoce como radicando.

Para calcular la raíz de un número, se eleva el radicando a una fracción que se corresponde con el índice de la raíz.

Relación entre radicación y potenciación

La radicación también se puede representar en forma de potencia. Siendo la radicación el procedimiento inverso a la potenciación.

De esta manera, se pueden calcular raíces de números fraccionarios y decimales, lo que permite trabajar con números más complejos.

En la radicación, el resultado es la raíz de un número, en la potenciación, el resultado es una potencia, y la base es el punto de partida para la potenciación, mientras que en la radicación es el resultado final.

En el cuadro a continuación se hace una comparación detallada entre estos dos procedimientos matemáticos:

Radicación Elemento Potenciación
Índice del radical o de la raíz n Exponente
Radicando a Potencia
Raíz b Base

Supóngase, que se tiene \sqrt[3]{64}=4, siendo 3 el índice del radical, el número 64 es el radicando y la raíz o resultado es el 4.

Esto se lee: ¿qué número elevado a la 3 da como resultado 64? siendo el resultado el número 4.

Ahora, realizando la comparación con la potenciación se tendría: que se conoce que la radicación tuvo un resultado final de 4, entonces; la potenciación iniciaría en 4, que sería la base de la potencia.

Esta base se eleva a un exponente, que corresponde al 3 (el índice del radicando), dando como resultado 64 (4x4x4=64).  Que se lee: 4 elevado a la 3 da como resultado 64.

Propiedades de la radicación

Las propiedades de la radicación son parecidas a la potenciación, por ser la operación inversa.

  • Raíz de un producto: si el radicando es una multiplicación de números, la raíz es igual al producto de las raíces de igual índice de los factores: \sqrt[n]{a\ast b}=\sqrt[n]{a}\ast\sqrt[n]{b\ } \Rightarrow \sqrt[\ 2]{25\ast9}=\sqrt[2]{25}\ast\sqrt[2]{9\ }.
  • Raíz de un cociente o división: la raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador: \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\ \Rightarrow \sqrt[2]{\frac{25}{9}}=\frac{\sqrt[2]{25}}{\sqrt[2]{9}}.
    De estas dos propiedades se concluye que la radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y la división.
    Sin embargo, no es distributiva con respecto a la suma y la resta:

    \sqrt[n]{a+b}\neq\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}

    \sqrt[2]{25+9}
    \sqrt[2]{34}

    \sqrt[2]{25}+\sqrt[2]{9}  =5+3=8
    \sqrt[n]{a-b}\neq\sqrt[n]{a}-\sqrt[n]{b}

    \sqrt[2]{25-9}\sqrt[2]{16}=4

    \sqrt[2]{25}-\sqrt[2]{9}  =5-3=2
  • Raíz de una raíz: para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando: \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\ast m]{a\ } \Rightarrow \sqrt[2]{\sqrt[3]{a}}=\sqrt[2\ast3]{a}=\sqrt[6]{a}.
  • La radicación de un número positivo en el radicando y que su índice sea par tiene dos resultados, uno positivo y el otro negativo: \sqrt[n]{a}=\pm b \Rightarrow \sqrt[2]{25}=\pm5
  • La radicación de un número negativo en el radicando y que su índice es par no tiene solución matemática: \sqrt[n]{-a}=\nexists \Rightarrow \sqrt[2]{-25}=\nexists.
  • Una raíz con índice impar, el resultado tendrá el mismo signo que el radicando: \sqrt[n]{a}=b;\ \sqrt[n]{-a}=-b \Rightarrow \sqrt[3]{27}=3;\ \sqrt[3]{-27}=-3.
  • Ley de cancelación: una raíz con índice (n) elevada a una potencia (n) se cancela: \left(\sqrt[n]{a}\right)^n=\sqrt[n]{a^n}=a(\ \left(\sqrt[3]{27}\right)^3=27.
  • Potencia de una raíz: una raíz de índice (n) elevada a una potencia, tendrá como resultado una nueva raíz donde ese exponente estará elevando al radicando: \left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}(\ \left(\sqrt[3]{a}\right)^6=\sqrt[3]{7^6}=7^\frac{6}{3}=7^2=7\ast7\ast49.

¿Cómo se realiza la radicación?

Para hallar la raíz de un número se debe buscar un número que multiplicado por sí mismo la cantidad de veces que exprese el índice dé como resultado el radicando.

Por ejemplo, si se tiene \sqrt[2]{81}, se debe buscar un número que multiplicado por sí mismo 2 veces (ya que el índice es 2) de como resultado 81, que es el radicando.

En este caso sería el número 9, ya 9 x 9 = 81. Siendo: \sqrt[2]{81}=9.

Es necesario mencionar que no todos los números tienen raíces exactas, y que existen raíces más complejas.

Para hallar la raíz de números enteros más grandes existen procedimientos que se pueden consultar en el tema de «Raíz cuadrada» y «Raíz cúbica».

Así mismo, en la radicación se pueden presentar diferentes cálculos dentro del radicando, es decir que el radicando presenta distintas operaciones.

Cuando esto sucede, debemos seguir los siguientes pasos.

  • Resolver las operaciones que están dentro del radicando aplicando de ser necesario las propiedades de la radicación.
  • Simplificar los radicandos de ser posible.
  • Resolver la raíz.

Suma y resta de radicales

Para sumar o restar radicales se debe cumplir la condición que estos sean semejantes.

Dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y radicando. Las raíces 2\sqrt[3]{18}\ es semejante a 9\sqrt[3]{18}, tienen el mismo índice (3) y radicando (18).

No siempre se pueden identificar directamente los radicales semejantes, en ocasiones simplificar para obtener los radicales semejantes.

Si se tiene la suma: 5\sqrt{50}+4\sqrt{18}. A simple vista no son semejantes, pero se pueden descomponer el radical para ponerlo en forma de potencia y después extrayendo factores fuera del radical, a ver qué pasa:

La clave al descomponer el radicando está en el índice de la raíz, en este caso el índice es 2, por lo tanto, se busca hacer pareja con los factores para poder simplificar aplicando las propiedades de la radicación.

Reorganizando la suma sería:

5\sqrt{2\ast5^2}+4\sqrt{2\ast3^2}

Ahora, para los factores que están elevados a la 2 (52 y 32) se aplica la propiedad de cancelación \sqrt[n]{a^n}=a, quedando la suma:

(5\ast5\sqrt2)+(4\ast3\sqrt2)

De esta manera se han obtenido radicales semejantes, se realiza la operación de los coeficientes y se efectúa la suma:

\left(25\sqrt2\right)+\left(12\sqrt2\right)=37\sqrt2

En el caso de la resta, se procede de la misma manera.

Multiplicación de radicales de diferente índice

Se escribe el mismo radicando y los índices se expresan como potencia y luego se suman aplicando la propiedad de las potencias con bases iguales.

\sqrt[m]{a}\ast\sqrt[n]{a}=a^\frac{1}{m}\ast a^\frac{1}{n}=a^{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}=a^\frac{m+n}{mn}=\sqrt[m\ast n]{a^{m+n}}

Ejemplo: \sqrt[2]{2}\ast\sqrt[3]{2}

Ejercicios de radicación

Simplificar las siguientes operaciones de radicales.

  1. \sqrt[3]{-125}
  2. \sqrt{\frac{4}{25}}
  3. \sqrt{48}-\sqrt{12}

Ver solución

Punto a)

\sqrt[3]{-125}

Se descompone el número -125\ =\ -5^3(\ \sqrt[3]{-5^3}\

Se aplica \sqrt[n]{a^n}=a

\sqrt[3]{-5^3}=-5

Punto b)

 \sqrt{\frac{4}{25}}

Se aplica \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\ \Rightarrow

\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{\sqrt4}{\sqrt{25}}=\frac{2}{5}

Punto c)

 \sqrt{48}-\sqrt{12}

Se descomponen los radicandos

\sqrt{2^2\ast2^2\ast3}-\sqrt{2^2\ast3}

=2\ast2\sqrt3-2\sqrt3

=4\sqrt3-2\sqrt3

=2\sqrt3

Bibliografía:
  • Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
  • Lancioni, J. D. N. (2012). Introducción a la Matemática. Universidad Católica de Cordoba. Universidad Jesuita.
  • Zill, D. G., & Dewar, J. M. (2008). Precálculo con avances de cálculo. McGraw-Hill Interamericana.

Autor:

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

Citar artículo:
Haude Medina (2023). Radicación. Recuperado de Enciclopedia de Matemática (https://enciclopediadematematica.com/radicacion/). Última actualización: mayo 2023.
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